Hopcroft算法DFA最小化Python实现

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DFA最小化原理

所谓自动机的化简问题即是对任何一个确定有限自动机DFA M,构造另一个确定有限自动机DFA M’,有L(M)=L(M’),并且M’的状态个数不多于M的状态个数,而且可以肯定地说,能够找到一个状态个数为最小的M’。

下面首先来介绍一些相关的基本概念。

 设Si是自动机M的一个状态,从Si出发能导出的所有符号串集合记为L(Si)。

 设有两个状态Si和Sj,若有L(Si)=L(Sj),则称Si和Sj是等价状态。

上图所示的自动机中L(B)=L(C)={1},所有状态B和状态C是等价状态。

又例如终态导出的符号串集合中必然包含空串ε,而非终止状态导出的符号串集合中不可能包含空串ε,所以终态和非终止状态是不等价的。

对于等价的概念,我们还可以从另一个角度来给出定义。

给定一个DFA M,如果从某个状态P开始,以字符串w作为输入,DFA M将结束于终态,而从另一状态Q开始,以字符串w作为输入,DFA M将结束于非终止状态,则称字符串w把状态P和状态Q区分开来。

把不可区分开来的两个状态称为等价状态。

设Si是自动机M的一个状态,如果从开始状态不可能达到该状态Si,则称Si为无用状态。

设Si是自动机M的一个状态,如果对任何输入符号a都转到其本身,而不可能达到终止状态,则称Si为死状态。

化简DFA关键在于把它的状态集分成一些两两互不相交的子集,使得任何两个不相交的子集间的状态都是可区分的,而同一个子集中的任何两个状态都是等价的,这样可以以一个状态作为代表而删去其他等价的状态,然后将无关状态删去,也就获得了状态数最小的DFA。

下面具体介绍DFA的化简算法:

  • 首先将DFA M的状态划分出终止状态集K1和非终止状态集K2

K=K1∪K2

由上述定义知,K1和K2是不等价的。

  • 对各状态集每次按下面的方法进一步划分,直到不再产生新的划分。

设第i次划分已将状态集划分为k组,即:

K=K1(i)∪K2(i)∪…∪Kk(i)

对于状态集Kj(i)(j=1,2,…,k)中的各个状态逐个检查,设有两个状态Kj’、 Kj’’∈Kj(i),且对于输入符号a,有:

F(Kj‘,a)=Km

F(Kj”,a)=Kn

如果Km和Kn属于同一个状态集合,则将Kj’和Kj’’放到同一集合中,否则将Kj’和Kj’’分为两个集合。

  • 重复第(2)步,直到每一个集合不能再划分为止,此时每个状态集合中的状态均是等价的。
  • 合并等价状态,即在等价状态集中取任意一个状态作为代表,删去其他一切等价状态。
  • 若有无关状态,则将其删去。

根据以上方法就将确定有限自动机进行了简化,而且简化后的自动机是原自动机的状态最少的自动机。

Hopcroft算法原理

算法抽象:

  • 1: Q/θ ← {F, Q − F}
  • 2: while (∃U, V ∈ Q/θ, a ∈ Σ) s.t. Equation 1 holds do
  • 3: Q/θ ← (Q/θ − {U}) ∪ {U ∩ δ^-1(V, a), U − U ∩ δ^-1(V, a)}
  • 4: end while

算法细化:

  • 1:W ← {F, Q − F}    # 有些版本上只是 W ← {F }
  • 2: P ← {F, Q − F}
  • 3: while W is not empty do
  • 4:     select and remove S from W
  • 5:     for all a ∈ Σ do
  • 6:         la ← δ^-1(S, a)
  • 7:         for all R in P such that R ∩ la ≠ ∅ and R ∉ la do
  • 8:             partition R into R1 and R2: R1 ← R ∩ la and R2 ← R − R1
  • 9:             replace R in P with R1 and R2
  • 10:           if R ∈ W then
  • 11:               replace R in W with R1 and R2
  • 12:           else
  • 13:                 if |R1| ≤ |R2| then
  • 14:                     add R1 to W
  • 15:                 else
  • 16:                     add R2 to W
  • 17:                 end if
  • 18:             end if
  • 19:         end for
  • 20:    end for
  • 21: end while

流程图

Python代码

测试

测试数据:

起始节点、边、终止节点的表示

共有14个边,7个节点

图形显示:

刚开始的子集为[{C,D,E,F},{S,A,B}]

实验结束后的结果:

最简化的DFA为:

C为终止节点,S为起始节点

难点与解决的方法

  • 在DFA最小化的过程中受限要去除无用状态,再使用子集分割算法处理。根据资料查找到一个快速的DFA最小化算法,叫做Hopcroft算法,通过该算法,能够处理不同大小字母表的DFA。
  • 在进行子集分割算法后,要合并等价的节点并且重命名使用graphviz输出,在这一步,合并并重命名节点需要注意所有重复节点的入度和出度均要考虑,只有这样才能避免新的最小化的DFA的边不遗漏。
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