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  • 数理逻辑-布尔代数

    布尔代数简介

    英国数学家G.布尔为了研究思维规律(逻辑学、数理逻辑)于1847和1854年提出的数学模型。

    所谓一个布尔代数,是指一个有序的四元组〈B,∨,∧,*〉,其中B是一个非空的集合,∨与∧是定义在B上的两个二元运算,*是定义在B上的一个一元运算,并且它们满足一定的条件。布尔代数由于缺乏物理背景,所以研究缓慢,到了20世纪30~40年代才有了新的进展,大约在 1935年,M.H.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系,他还得到了现在所谓的斯通表示定理:任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域;任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等,这使布尔代数在理论上有了一定的发展.布尔代数在代数学(代数结构)、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用。

    1967年后,在数理逻辑的分支之一的公理化集合论以及模型论的理论研究中,也起着一定的作用。近几十年来,布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用。

    乔治·布尔与布尔代数简史

    乔治·布尔(George Boole,1815.11.2~1864),1815年11月2日生于英格兰的林肯。19世纪最重要的数学家之一,出版了《逻辑的数学分析》,这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。1854年,他出版了《思维规律的研究》,这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。

    ——百度百科

    1835年,20岁的乔治·布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程,他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久,他就感到惊讶,这些东西就是数学吗?实在令人难以置信。于是,这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。

    由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉,在孤独的研究中,他首先发现了不变量,并把这一成果写成论文发表.这篇高质量的论文发表后,布尔仍然留在小学教书,但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信,其中有数学家、逻辑学家德·摩根.摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论,布尔知道摩根是对的,于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告,它一问世,立即激起了摩根的赞扬,肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。

    布尔此时已经在研究逻辑代数,即布尔代数.他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数.在这种代数中,适当的材料上的“推理 ”,成了公式的初等运算的事情,这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多.这样,就使逻辑本身受数学的支配.为了使自己的研究工作趋于完善,布尔在此后6年的漫长时间里,又付出了不同寻常的努力。

    1854年,他发表了《思维规律》这部杰作,当时他已39岁,布尔代数问世了,数学史上树起了一座新的里程碑.几乎像所有的新生事物一样,布尔代数发明后没有受到人们的重视。

    欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西,他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。

    20世纪初,罗素在《数学原理》中认为,“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的.”此说一出,立刻引起世人对布尔代数的注意。

    今天,布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支.在离散数学中,布尔代数(有时叫布尔格)是有补分配格(可参考格的定义)可以按各种方式去认为元素是什么;最常见的是把它们当作一般化的真值.作为一个简单的例子,假设有三个条件是独立的为真或为假.布尔代数的元素可以接着精确指定那些为真;那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集,和与之在一起的组合它们的方式。

    有时也被称为布尔代数的一个相关主题是布尔逻辑,它可以被定义为是所有布尔代数所公有的东西.它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成,而不管你具体的那个布尔代数.因为逻辑门和某些电子电路的代数在形式上也是这样的,所以同在数理逻辑中一样,布尔逻辑也在工程和计算机科学中研究.在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非).代数结构要是布尔代数,这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假))。

    布尔对香农的启发

    1938年香农在MIT获得电气工程硕士学位,他的硕士论文题目就是《继电器与开关电路的符号分析》,这个符号分析完全是用了布尔的那套代数体系。他注意到电话交换与布尔代数之间的类似性,把布尔代数的真假和电路系统中的开关对应起来,并且用1和0表示,那时候的电话机和现在的电话机差远了,完全不一样。

    逻辑和语言的关系

    弗雷格认为他是有一个比较大的不确定性,在语言和演算之间摇摆,他想干脆两边都占着。既要普遍语言,又要演算,这个数理逻辑在哲学方面导致了语言转向,这是他很大的一个功劳。同时他又给语言分析提供了新的工具,成为一种新的思潮,这就是逻辑和语言之间的关系。他就认为哲学的本质就是用逻辑分析语言,这里面可以得出一个结论,就是弗雷格在这里面是先驱,罗素是承上启下,前期的维特根斯坦,包括《逻辑哲学论》很重要,是关键性的人物。

    同时对石里克为首的逻辑实证主义也有了很大的影响,从《概念文字开始》,到《算术基础》,1954年又对哲学的语言转向,1918年罗素受维特根斯坦启发提出了逻辑原子论,后来由维特根斯坦提出了对世界进行得逻辑分析,提出事实、事态、对象的世界结构,并通过“图象论”阐释命题、基本命题、名称这一语言结构,从而显示出语言和世界的同构关系,这就是维特根斯坦的一种研究。

    维特根斯坦也是欧陆人,跟维也纳学圈的石里克他们有交往,但是没有参加石里克他们的活动。石里克他们这些人就搞了逻辑分析主义,有四条纲领:把哲学的任务归结为对科学语言的分析、坚持把分析命题和综合命题进行区分、强调对语言的逻辑分析拒斥形而上学、主张物理语言是科学的普遍语言。这是石里克他们维也纳学圈准备搞一套很宏大的系列丛书,最后到了“二战”以后都跑到美国去了,后来邀请库恩也写作,他们说要用物理学语言作为科学的语言,库恩就写了《科学革命的结构》,彻底把维也纳学派打败了,讲一锅端,历史学派出来了,你们那些都是错的,所以搞维也纳学派是前期,后期库恩这边的人就出来了,所以库恩科学革命结构是搞科学哲学的经典著作,你要如果不了解科学哲学,你不去读库恩的《科学革命的结构》不行,他们这些人的书都各有千秋。

    这是他的数学传统,理性演算,就是莱布尼茨、布尔、图灵、冯诺伊曼。说实在的,布尔这个人出身不是特别好,挺穷,教小学,又自己做牧师,所以搞这个东西也挺艰难。可是后来罗素对布尔的评价很高,就是他是一个纯粹的数学发现者。后来又一个著名的逻辑史学家波亨斯基对布尔《逻辑的数学分析》《思维规律》的评价相当高,说布尔代数是现代计算机的基本运行方式。以前我们老说莱布尼茨搞了二进制,他那个二进制与现在计算机的二进制一点关系没有,他只是弄了一套东西,他叫二进制级数不叫二进制,逢二进一,也能够0101的摆出来。现在计算机用的是布尔代数,不是莱布尼茨的二进制代数。

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