蒙提霍尔问题(三门问题,概率论)C语言验证

三门问题——亦称为蒙提霍尔问题,出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。问题是这样的:

据说此节目一经播出就引起了一场热烈的讨论,有人说应该换,有人认为换不换都一样。主持人给出的答案是应该换,并在下一期的节目中给出了一个分析表格用来说明她的理由。但这下反对的声音更大了,在几千封来信中,反对者达到了9成。[1]

在所有认为该换和不该换的争论中,正反两方形成了两种对立的观点。
一种是认为不换的中奖几率是1/3,换的话将有2/3的几率中奖,因此当然应该换。因为:
根据参赛者的选择,一共有下面三种可能情况(两只山羊分别称为山羊A和山羊B):

(1) 参赛者选择山羊A,主持人选择山羊B;
(2) 参赛者选择山羊B,主持人选择山羊A;
(3) 参赛者选择了汽车,主持人选择两只山羊的任何一只

三种情况几率各为1/3,如果换的话,前两种都会中奖,仅第三种不会中奖。所以选择换的中奖概率为2/3,不换几率只有1/3。

下面再来看看“反方”观点,这种观点认为换不换都一样,几率都是50%。因为:

还可以换一个角度来理解。即使他没有变更选择,他实际上也做出了选择,只是选择的是“不变更”而已。虽然选择的是“不变”,但不代表他的几率不变。整个过程重新组织一下会更容易看明白:

所以,他选到车的概率为50%。

为什么第二种观点是错误的呢?这是因为当我们第一次做出选择时,所基于的样本总数为3,此时选定的门后面为汽车的几率是1/3。并且选定后这一几率不会再改变(第二种答案正是基于几率会变的观点),因为对于已发生的事件来说,后来发生的事件是不可能影响它的几率的。

千万不要误解了上面这句话,这里谈到的是几率,是多次事件的统计结果,并不是确定的一次已发生事件的结果。例如,当把剩下的两个门都打开后,就能够确定第一扇门后面是否为汽车,但第一扇门的“几率”会因此而改变吗?不会,因为此时我们在谈的是特定一次的结果,而不是几率。如果我们将此过程重复很多次,每次选择一扇门之后都通过另外2扇门来判断这扇门后面是不是汽车,我们会发现,此时得到的几率仍然为1/3。

第二种答案之所以是错的,还在于它搞错了一件事情,当我们说“当我们做出选择时,几率就随之确定了”这句话时,实际上是在说“三扇门中任何一扇门后面是汽车的几率都是1/3”,而不是“我们的选择决定了这件事的几率”。我想很多人都搞错了这一点,一件事的发生几率是由事物的本质规律决定的,并不会因我们人类的意志为转移。

附:

我们不妨假设现在讨论的不是“三门问题”,是“一万个门”问题,看看结果怎么样? 情景假设:面前有1W扇门,只有1扇后面有羊,其他门后面什么都没有。 情况1:直接选一扇门,后面有羊的几率是1/10000; 情况2:有一个好心人先帮我排除了9998扇门,留下两扇门给我选,选中有羊的几率是1/2; 上述两种情况说明的问题是:排除前后下决定,概率会有所改变!所以讨论的时候不要混为一谈! 实际的情况是我先选了一扇门。选好后别人打开了9998扇门,后面都是空的。但如果我不更改选项,别人做的”排除行为,对我选的门有羊的概率不会有任何的影响,所以还是1/10000。 而剩下两扇门中必然有一扇后面有羊,因此剩下一扇门后有羊的概率是1-1/10000=9999/10000。 这和我们实际的感受也很接近,相信大家都会直觉地不相信自己一下就能”万里挑一“把有羊的门选出来,肯定选择”换“。 同理,三个门的情况下,不换得羊的概率是1/3,换了得羊的概率是2/3,只是三个门的情况只是分母太小,迷惑了大家的直观感受而已。

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